超新星爆発と事象の地平面出現ショック
Posted on 8月 1, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
少し前、ベテルギウスが15年前と比べて15％縮小していて、このまま超新星爆発を起こすかもしれないというニュースを読んだ。そこで超新星爆発の仕組みについて検索したところ、現在でもよくわかっていない所もあるということだ。一応、収縮が止まった衝撃とか音波によって爆発が引き起こされるという説明がされているが、音波でこれほどの大きなエネルギーが放出されるというのは少し考えにくいなあと思わないだろうか？ 偶然出来てしまったw自作のブラックホールシミュレーターでは、ブラックホールが出来る直前に、粒子の運動量が捻じ曲げられることが起きていて、これを「時間反転爆発」と名前を付けた。これがシミュレーションの欠陥なのかどうかを考え、補正するなりしようかと思っていた。しかし、もしかしたらシミュレーター上のこの欠陥は欠陥ではなく、超新星爆発を再現できるものになりえるかもしれないと思いシミュレーションをしてみた。 映像ダウンロード WMV形式 28秒 6.6MB 12FPS 初期条件として粒子を中が空洞な球となるように配置している。厳密に球状になっているはずなのだが、微妙な濃淡の影響でブラックホールが2つ出来てしまっている。 映像ダウンロード WMV形式 41秒 8.3MB 12FPS こちらのシミュレーション結果では、ブラックホールは2つ、できそうでできない。そのかわり、ブラックホールに吸収されていく竜巻のような現象が見られて興味深い。ブラックホールトルネードとでも呼ぶべき現象。 いずれのシミュレーションも爆発が2度起きるが、重力定数の調節で起きないようにも複数回起きるようにもできる。 映像ダウンロード WMV形式 41秒 7.1MB 12FPS 実際の超新星爆発でも、発光を複数回起こすことがあるのが確認されている。このシミュレーションの結果からもしかしたらと思い調べたら、そういう観測結果もあるとわかったので驚いた。最近、板垣公一さんが発見した2006jcは、2年越しで2度の発光が確認されているらしい。 粒子同士の反発力や、時間反転爆発の際に引き起こされるであろう核融合反応で開放されるエネルギーをシミュレーションに加味していないので、結果の正確性は全くない。しかし、超新星爆発でできるブラックホールと強烈な発光現象を、おおまかにとらえているような気がしないでもない。 月の4分の1の明るさだったというSN1006の記録に「驚くべきことに、この星は時に収縮し、時に拡散し、そのうえ時には消えてしまうこともあった」というのがあるらしい。 もし、ベテルギウスの超新星爆発が近々見られるのであれば、天文史上で1000年に一度の一大事件になる。早く起きないかなｗ
Read More..>>単位四元数座標系のローレンツブースト
Posted on 7月 2, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
というわけで、前回、フレーム時間という絶対時間を実宇宙に定義した。この時間は、日常的に経験する一方向的な自由度を持った時間で、相対論の要請ではない。しかしながら、数学的には非常に高度なものになる。 数理構造としてはN次元まで拡張されている。このN次元のNはいくつなのかが気になるが、多分宇宙半径と光速の比くらいとんでもなくでかいと思われる。N次元の回転が私たちのいる宇宙での絶対時間を定義しているということだ。だから、宇宙の始まりから終わりまでの非常に長いタイムスパンからすれば、この絶対時間も循環しているということになる。実を言うとN次元は無限大まで拡大すると考えている。ところが無限まで拡大した空間宇宙では、あらゆる物理法則は消えてしまうことになる。 絶対時間による有限次元の数理構造の分断が物理法則を演出する。つまり、異なる物理定数を持った無限階層のハイパースペースを想定していることになる。 このような宇宙観は想像力をかきたて目の覚めるような魅力があるとは思う。しかし、現時点では追求しても利益はないだろう。それよりも問題なのは、一般相対性理論のいう歪んだ時間、空間の曲率としての重力だ。これと単位四元数座標系との関わりの追求を続けるべきだろう。ただ、その追求の過程において、この絶対時間を要請することにしないとなんとも具合が悪い。そうじゃないだろうか？ 「それって、無理やり物理法則をシミュレーション可能な風に改造したんじゃね？」 と思われるかもしれないが、そうともいえるｗ。この絶対時間の前提があるから、時間反転した粒子をそれ以前のフレームに戻すという操作をしないでシミュレーションを継続させることができる。相対時間の反転を単に運動量の反転として反映させることが許されるようになるのである。 さて、ローレンツ変換の数理構造は、四元数を使って、 ct , L * (i * x + j * y + k * z) (L は、i j k と別の虚数単位) で記述できることは知られている。これはバイクォータニオン(Biquaternion)とか、双曲四元数という名前で解明されているようだ。だがこれらは、角度だけを物理量に使用する超角度理論の目的とは違っている。 以前の投稿で、四次元を回転させる四元数が、 { cos(q) , ux * sin(q) , uy * sin(q) , uz * sin(q) } 0 ≦ q ≦ π ux^2 + uy^2 + uz^2 = [...]
Read More..>>（時間⇔距離）の時間とフレームとしての時間
Posted on 6月 27, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
四次元の回転について、その線形球面補間も含め四元数の演算で閉じていることを計算した。だが、意味付けとして7次元を持ってきて、八元数での計算にも乗っかるという事実は依然として重要な別解だと思う。思いつつも、BHシミュレーターをパフォーマンスのため四元数オンリーで簡略化しているところ。 プログラムをいじりながら、このシミュレーターで行っているアルゴリズムに対する疑念が強く湧いてきたので、色々とシミュレーション手法を調べてみた。渦やブラックホールなどの結果は、アルゴリズムの欠陥から出てきたものに違いない？のである。特にシンプレクティック積分法について関心を持ち考えてみた。自分が行っているのは、1次シンプレクティック積分法を採用しているということがわかった。ただ、位置の計算がどうにも悩ましい。 「銀河シミュレーター」では、微分を使うのか積分を使うのか、実際に計算させて、「もっともらしい方」を適当に切り替えて使用しているだけだ。数学的には何の証明もない。具体的には、運動量pへの作用として力積を相互作用させるという概念から、線積分を主に使用している。線積分はスカラーで出てくるから、それに方向をつけてベクトル化し、ペアとして注目している粒子の運動量へ逆方向に掛算している。この部分をポテンシャルエネルギーの偏微分だけで行っても、それほど結果は変わらない。これ以上の検証は粒子の総エネルギーの変動を検証するプログラムを作るべきだろう。 それからパフォーマンスは落ちるだろうけれども、高次シンプレクティック積分法についてもやってみたいと思った。歪んだ空間ばかり相手にしていないで、太陽系の実データで実用的なシミュレーションでも作ろうか。それを Swiss Ephemeris などのデータと照合してみるのも有意義なことだろう。Swiss Ephemeris は占星術で使用されることが目的のものだが、NASAのスパコンが算出したデータも使用しているようで、いい加減なものではないようだ。公開されているプログラムを動かすと、惑星の正確な位置をあらかじめ計算してあるデータベースから出してくれるので検証に使える。 それにしても、シンプレクティック積分法の Exp() の数学的構造が気になる。四元数の Exp() の意味を考えているときにこんな計算方法を見れば、これを単位四元数で置き換えたくなるのは当然の心理的流れだろう。単位四元数を使うことで逆に微分方程式の解が簡単にまとまる気がするがどうなんだろう。さらには、2つの単位四元数である位置q と運動量p によるハミルトニアンを、八元数の構造の中に埋め込めるのではないかと妄想してみる。そこから、高次元シンプレクティック積分法の構造は、正規化された八元数のヒルベルト空間になったりして。つまり、空間の構造は、八元数を使用した高次元シンプレクティック積分法の構造のようなものになるのではないか。 シミュレーションをより完全に行う手法が宇宙の真実をえぐり出しているのかもしれない。 この宇宙が精密かつ大規模なスパコンの内部データではないかというのは、SFでは使い古されたネタだが、実際その可能性は否定できない。もしそうであれば、実に大規模なスパコンが実宇宙の演算に使用されているものだ。感心する。だが、無限のメモリがあるとは言えないと様々な面から推測している。それどころか逆に、この「宇宙スパコン」のメモリの有限性が物理法則なのだと考えている。 例えば、量子力学における不確定性原理は、情報技術の非可逆データ圧縮で使用されるアルゴリズムにも現われる。これから類推されることは、宇宙内の粒子のパラメータは、宇宙外データベースにおいて圧縮されて保存されているのではないかということだ。何だかかえってデータが増えてしまう気もするが、この種のデータ圧縮展開演算は「宇宙スパコン」にとって得意だとみえる。それに、圧縮データの展開において不可避なあいまい性が、原子を安定させて形成することになるので、必要性があるのだ。この種のあいまい性がなくなれば、原子はあっという間に潰れてしまって存在できないことになるだろう。 不確定性原理以上に重要なのは、質量や電荷そのものについてだ。例えば離散フーリエ変換における成分の数Nが有限であることが、質量や電荷になる。場の量子論の繰り込みというのは、多分こういうことなんだろうと勝手に予想している。実宇宙において離散フーリエ変換が使用されているのか、Nがどれほどの量なのかは不明だが。 そして、時間についてもその非連続性こそが重要なファクターとなる。シミュレーションにおける時間の不可避な分断が、実宇宙にも現われるのである。そして、それは宇宙の不完全さを露呈するものではなく、時間の分断によって現われる効果が必要不可欠な物理法則として利用されるのだ。時間の分断による効果が四元数として現われることで、電磁力などになる可能性も出てくる。 あらためて時間について定義をしてみよう。無限に小さい連続する時間が実在するとすれば、「宇宙スパコン」においてデータ量が無限になってしまうが、それはありえないことだ、ではない、必要なことだ。 動画の再生のように1コマずつ進行していく一方向的な自由度を持つ時間の流れを、「フレーム時間」と呼ぶことにしよう。すると、fps：フレームパーセカンドが実宇宙に定義されることになる。 時間の持つ側面はそれだけではない。 一般相対性理論が言うような重力としての時間のゆがみが別に定義される。それは、方向を持っているベクトルで、具体的には三次元球面に直行する二次元球面、すでに書いた距離の計算に基づく量と強く関連しているハズだ。 時間については一義的に考えていても、実際の応用には到底適用できない。だから、とりあえずは、デジタルな「フレーム時間」と、アナログな「歪み時間」を考える。これらの時間を統合するのは四元数もしくは八元数のN次元構造の超角度となる。 具体的には、佐藤の超関数のデルタ関数表現を四元数拡張したものを最小時間として、位置の四元数による単位ヒルベルト構造体を積分したものが、重力や電磁力の最小時間あたりの運動量交換になるのではないかと予想してみている。
Read More..>>すばらしき回り道?
Posted on 6月 20, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
改めて、四元数の掛け算を見てみよう。 A = a0 + i * a1 + j * a2 + k * a3 B = b0 + i * b1 + j * b2 + k * b3 の２つの四元数があるとする。簡単のために以下のように表記する。 A = { a0 , a1 , a2 , a3 } B = { b0 , b1 , b2 , b3 } B [...]
Read More..>>三次元球面と直交する二次元球面
Posted on 6月 16, 2009 - Filed Under ブラックホール | 1 Comment
本当に三次元球面に運動量が曲げられてしまうような時間要素が入り込んでいるのだろうか？それともローレンツ変換の裏返しで、それらしく計算できちゃったー万歳的なものなのか。徹底して確かめる必要がある。 特に去年7月の投稿の以下のものは、もっと追求すべきことだと思う。 念願の四次元の超球面線形補間がやっとできた 八元数と七次元の外積と四次元の回転と三次元の回転軸？ 球面線形補間だと渦はできなかった 単位四元数座標系の位置は明確に定義できる。任意の単位四元数だ。移動や速さの定義は少し難しい。この座標系において移動とは回転を意味する。 速度の単位四元数を適当に決め、それを単純に位置の四元数に掛け算すれば、粒子は一定の角度で移動してくれる。ある角度だけ回転するという操作であれば簡単なのだ。単純に四元数の掛け算をすればよい。 ところが、ある「割合」だけ回転させようとすると、とたんに難しくなる。例えばある角度の半分の回転をしたい時、単位四元数を２で割ってかけるという事はできない。２つの単位四元数から角度と「回転軸」を取り出して適切に球面線形補間しなければならない。 「回転軸」は２つの四元数と直交していなければならない。このような「回転軸」は７次元の他の軸に見出されることを以前の記事で書いた。この計算手順は計算機で行う分にはいいが、数学として計算しようとすると要素の数が多くなり手間のかかるものになる。でもがんばってやってみよう。 単位四元数座標系の原点を、 Q0 = 1 ∈Quaternion にとり、ここから光速c（ラジアン 0 < c << π）の光が到達する二次元球面を考える。 Q = w + i * x + j * y + k * z (w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1) の条件を出すのだ。時間をどうとるかがとても悩ましいところだが、とりあえずごく普通に t で。すると、t 秒後には角度 c * t の位置に光があることになる。四元数の偏角で式を作れば、 acos(w) = c * t w = [...]
Read More..>>混合シミュレーションの結果
Posted on 6月 11, 2009 - Filed Under ブラックホール | 1 Comment
まず用語定義 トリロジー投影(Trilogeographic Projection) Trilogyは「三つ組」という意味で映画の三部作とか宝飾品の言葉にも使われるが、四元数の指数関数(exponential)の逆関数である対数関数(natural logarithm)が「三つ組」になっているので、三つの(tri)対数関数(log)をかけて使っている言葉。トリロジー変換、トリロジーグラフ、トリロジー写像などと使う。この変換を使うと3次元球面S3を3次元空間に投影して視覚化できる。 トリロジー銀河シミュレーター(Trilogy Galaxy Simulator) トリロジー空間で直接的に重力多体シミュレーションをテストしたところ、銀河のような渦巻き構造が現れたというもの。銀河の腕、リング銀河、降着円盤ジェット、リング銀河崩壊によるコア分裂、原点を中心としたゆるやかな振動、が見られる。最後には必ず発散してシミュレーションが終わる。 今まで統一した名前で呼ばなかった次のシミュレーションについて名前が欲しいところ。三次元球面シミュレーターでもいいがインパクトに欠けるので、 ブラックホールシミュレーター(Black Hole Simulator) 八元数による四次元の回転(七次元外積)(四元数の割り算でも代用可)で重力多体シミュレーションをしたところブラックホールが現れたというもの。ブラックホールができなければ特に普通に重力相互作用をしているように見える。いったんブラックホールが現れると、周囲の粒子を勢いよく吸い込んでいく。ブラックホールが現れる前兆現象として、運動量が捻じ曲げられ粒子が互いに反発するような場が形成される。その壁を乗り越えた粒子がブラックホールを成長させる。ブラックホール成長は完全に空間対象的で、降着円盤はできない。粒子は螺旋運動をしてブラックホールに落ち込むこともある。初期条件によっては複数のブラックホールが形成されるが、ブラックホールは移動しにくく、運動量が消失していることがわかる。２つのブラックホールが合体するとき、「大」が「小」を解体させて吸い込む。その時「大」は移動しない。ブラックホールが出来るとシミュレーションは収束して終了する。 時間反転爆発(Time-Reversing Explosion) ブラックホールシミュレーションにおいて最重要だと思われる奇妙な現象。三次元球面に時間の要素が入っていることを示唆する。集合しつつある粒子が事象の地平面を急激に空間に生じさせると、それが球面となって高速で広がる。球面となって出現する。（なぜなら重力が最も強いのは中心部ではないから）。集合中の粒子が時間反転の境界に触れると、それら粒子の運動量は方向が逆転して再び飛散し爆発のようになる。 さて、この両者の単純混合シミュレーションだが、混合比率によって多様な結果が得られた。いくつか面白いと思った現象をあげると・・・ ・ブラックホールが出来る前、渦が出来ないと、棒状の粒子の集合が見られる。なぜ棒になる？ｗ ・渦のコアにブラックホールが安定するが、分裂や合体をすることもある。 ・渦は出来ても、腕は出来にくい。 ・渦の中心が安定しないことが多い。条件によってはブラックホールごと銀河がある方向へ飛び去っていくｗ 混合比率の他、重力定数G、限界光速度C、初期条件を決めないといけない。変な値にすると、全然違う結果になる。もう、色々検証するのが超面倒ｗ。下手な鉄砲数うちゃ当たる的状況。まあ、これ以上はちゃんと理論的構成から定数を決めないと、何でもありになってしまう。 時間反転爆発と渦ブラックホールのデータ [50MB] 時間反転爆発が3回起きる。若干計算に入れているトリロジー相互作用で渦になったブラックホールが見られる。シミュレーション最後では安定した事象の地平面によって粒子が跳ね返されている。このファイルの元データはもっと長いがこの状態で安定するのでカットしてある。 ホワイトホールとブラックホールの混合のような結果か。なんとなく、超新星爆発に似てる感じもする。
Read More..>>もう一度最初に戻って整理してみる
Posted on 8月 14, 2008 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
そもそもの発想の原点になっているもの、それは永遠に続く直線は存在しない、XYZ軸のように永遠に伸びていく直線からなる座標系などというものは、現実世界にはありえないという仮定だ。このことが常に念頭になければならない。すなわち、幾何学的には超円（超球面）とそこに定義される複数の角度によってなる座標系のみを採用して物理法則を考え直そうということだ。そして、空間の三次元球面を考えるのに、四元数を使えばより効率よく計算処理できるのではないかという着想からプログラムを作って検証してみているわけだ。 角度からなる座標系だけを使用するとどうなるか。これがこのブログの真のメインテーマだ。何しろ未来のロボットは角度とかがしっかり考えられて作られるはずなのだｗ このブログで最初に書いたシミュレーターは、トリロジー銀河シミュレーターという名前を付けたわけだが、まるで本物の銀河のような渦が出来るようなシミュレーションだ。これは、三次元球面S3を三次元に投影してそこで通常の三次元空間と同様に物理計算をしているので、必然的に投影の基点となっている原点に強く依存するシミュレーションとなってしまっている。 次にやったのが、この原点依存性を無くそうという試みだ。八元数を使用した三次元球面線形補間の計算手法を使って、重力相互作用を直接三次元球面上で計算した。この計算手法を使えば、七次元平面でさえ回転させることができるので、いささかオーバースペックな計算手法なのだが、三次元球面に適用した七次元外積と単位四元数の割り算との同等性という面白いことも判明した。 このS3シミュレーターは原点に依存しない。具体的には初期条件としての粒子を原点からずらしたところに配置してもそこでそのまま重力相互作用をする。トリロジー銀河シミュレーターはそうはならない。 これで成功かと思われたが、今度はブラックホールのようなものができてそこに粒子が落ち込み塊になってシミュレーションが終了してしまった。銀河のような渦はできなくなってしまった。 代わりに宇宙シミュレーターのようなものが実現可能になった。三次元球面全体に均等に配置した粒子から、三次元球面のどこか一箇所にランダムに収束してブラックホールが出来上がるようなシミュレーションができた。 ちなみに、三次元球面宇宙の正反対にある粒子どうしは重力が全方位的に働くために、つりあって重力が働かないようになるわけだから、そのための何らかの補正が必要なのは明らかだ。距離を双曲線関数のsinh(θ)と定義して、ハイパボリックサインの積分を計算すると、複数の場所にブラックホールが出来てそこでシミュレーションが終わるという結果も作れる。 普通の式 1/a-1/(a+x) 補正した式 1/(sinh(a)*cosh(a))-1/(sinh(a+x)*cosh(a+x)) 距離をどう定義するのかはさらなる徹底した検証が必要かも。 また、このシミュレーターでは、Gを大きめにしてブラックホールを作ってみると、まるで重力に逆らうかのような粒子の挙動が見られる。ブラックホールにまっすぐ近づく粒子はそのまま進行方向が反転したり、接近する角度によってはその場で螺旋を描いてブラックホールに落ち込んでいく。まるで光源の周りを旋回する夏の虫のようだ。全くの思ってもみない粒子の挙動だったが、強い重力場によって時間の進行がある方向に遅くなるという一般相対性理論を持ってくれば不思議でもないことに気づく。相対論のミンコフスキー計量は、単位四元数と構造的にかなり似ているというか同じ？なので、当たり前と言えば当たり前の結果なのかもしれない。 自分としては、当初は、三次元球面の空間のみを考えていて時間については直線的なものでしょうがないと後回しにしていたのだが、この結果を受けて三次元球面の空間を考えただけでそこに時間的要素が入り込んでくるのだと見なすしかないということが判明した。 空間のみならず時間についても、どこまでも続く直線的な次元なのではなく空間と密接に関係した循環する何かなのではないかと感じることが出来た。時間について徹底的に考え直してみることは、今後の課題になる。 次に何とかしてこのブラックホールを避けてシミュレーションしたいという流れで、リーマン球の投影を一次元アップさせることで、運動量を普通の三次元にマップしようということをやったのが今。ブラックホールと渦が両方出来る状況になった。どうやら、三次元球面⇔普通の三次元という変換を、位置とか運動量に適用すると微妙なところで渦ができるらしい。単なる計算ミスか計算精度の限界が表れたのか？これも今後の課題。 まあ、といってもCGとしては綺麗なものができたわけで、こういう意味では成功。新しい映像も作成したのでアップしておこうと思う。面白い部分がずっと続くシミュレーションなので調子に乗ってファイルがでかくなってしまった。 映像ダウンロード DIVX形式 8分32秒 236MB これを出力するのに、Pem4 3GHz で４１時間かっかったｗ 水冷で安定してるPCなんだけど真夏だし冷却タワーはアツアツｗ
Read More..>>それでもブラックホールが出来てしまった
Posted on 8月 11, 2008 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
リーマン球面写像のアイデアで、シミュレーションをし直したところ、粒子の進行方向の極端な反転は見られなくなったものの、ブッラクホールのような塊はやっぱり出来てしまった。つまり、前回の投稿で角度πを超えるとか超えないと言ってたのは全部ウソだったようだ。 ガックシだし orz その他、いくつかの計算方法をためしてみたが、すべて同様な結果になった。どうやら、ブッラックホール形成は、三次元球面で空間を定義して計算すること自体に起因するもののようだ。三次元球面を持ち出した地点で、ブラックホール形成は不可避な現象としてシミュレーション上に現れるということらしい。素直に近接する粒子の斥力を加味しなければ、ブラックホールを回避できないようだ。どんどん物理法則がめちゃくちゃになっていくような気もするが・・・ やっぱりかなりやっかいだよ、これ。しかも、単に計算精度の限界が表れただけかもしれないんだよね。。。long doubleで計算して比較しなきゃならないかな。うーむ、メンドクサイｗ でも、わかったこともある。 三次元球面の空間を想定しただけで、時間的要素が入り込んでくるような結果になる 単位四元数による三次元球面と時間一次元で、四次元＋α空間が出来上がるということはなかったんだな。やっぱり一般相対性理論の四元量と、その内にまとめられた時間と空間の同等性は、次元を増やす必要性もなくそれで完結している完成度の高い理論だと改めて感じる。 それでは、シミュレーションの結果を映像にしたので見ていただこう。 映像ダウンロード DIVX形式 1分25秒 40MB 奇妙な結果にまたまたビックリ仰天してしまった。とりあえず、叫んでみます。 意味がわかりません！ お、落ち着いて考えてみよう。 まず、立方体内に一様にちりばめられた粒子は、重力で中心部に凝集しだす。するとそこには時間の進行が遅くなった領域が出現し、粒子が再び遠方へ逃げ出すことを阻止する。そして、次の瞬間気持ち悪いくらい小さい領域に膨大な量の粒子が吸収されてしまう。 そして、問題なのはこの次。 ブラックホール内でどういうわけか粒子が高速回転をはじめて、ブラックホールから粒子が飛び出して降着円盤を形成する。 しかも、しばらくすると、回転方向が変わる。ありえない。 めまいがする。また銀河ですか。 そうか、つまりはこういうことだ。 銀河の歴史がまた１ページ そういえば、アインシュタイン自身は1939年に何も出てこれなくなるブラックホールについて、否定的な論文を書いていたらしい。ホーキングは、ブラックホールが蒸発するということを1974年に提案した。何もブラックホールが絶対永遠のものと言うことはないのだ。それにしても、ブラックホールから直ちに渦が生成されて展開し、しかもしばらくするとその回転の向きを変えたりするなんて、どういう計算誤差？ｗ しかし、真夏のシミュレーションは熱いな・・・部屋が。PC3台を100％で回し続ければクーラーの効きも流石に悪くなる。しかも、Pem4,PemD,Celeron O.C.,の加熱CPUが揃ってるしｗ
Read More..>>リーマン球を使って運動量を限定してみる
Posted on 8月 1, 2008 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
ニュートン力学によると、重力は瞬間瞬間での粒子間の撃力のように理解できる。N個の粒子があると、N*(N-1)/2回の衝突がある。その大きさは距離の二乗に反比例し、方向は粒子間の位置ベクトルの差だ。これを実際にコンピューターでシミュレーションしようとしたときには、時間の間隔を無限に小さくするわけにはいかないので、積分を使って計算をする。前回の距離を記憶しておき、現在の距離とで定積分する。その方向は、大雑把に高速で計算したければ、現在の位置の差で計算してもそんなに不自然な結果にはならない。まあ、そんな感じで、いい加減で姑息な手段を使って力技でN体シミュレーションを行うわけだ。 そんな計算方式のまま、単位四元数と八元数を使った三次元球面(S3、四次元球)のシミュレーションによって、ある条件下でブラックホールのような粒子の密集が起きるとしても、計算誤差によるものの可能性は大きい。しかし、どういう計算間違いでこういうことが起きるのか、それを考えることはとても興味深い。 まず、球面上でシミュレーションすることによる思ってもみなかった問題が発生している。球面座標系ならではの問題だ。一方向への強力すぎる重力相互作用の積分値の総量が、角度πを超えてしまうのだ。そうなると、馬鹿正直な計算機としては、運動量のベクトルを反転させてしまう他はないのである。シミュレーションの結果を観察する。ワーッと一気に粒子が集合しようとすると、運動方向がねじ曲げられて粒子は反転したり旋回したりする。そしてまた密度が薄くなると、再び粒子は集合しようとする。まるで時間の流れが逆転した場が現れたり消えたりしているようだ。とても不思議で面白い結果だ。でも、これは前述したような時間を大きくとる積分計算による誤差だと思われる。実際の世界は時間の間隔はシミュレーションよりもっとずっと細分化されていて、角度πを超えるということはありえないはず。 この現象は、ブラックホールができる前とブラックホール周辺で起きる。 次に、なぜブラックホールのような粒子の密集が起きるかを考えよう。シミュレーション結果を観察すると、粒子の速度が速くよいタイミングで多数の粒子が一箇所にあるか、回転しながらゆっくり粒子が集合すると、運動量の交換率が角度２πを超える領域に粒子がうまく落ち込む。そうすると、粒子の運動量には反転の反転、そのまた反転などが起きてきて、ある半径からは出れなくなる。というわけだ。折角だけれども、やっぱり計算誤差の産物のようだ。とりあえずこれはこれで残しておいて、次にいこう。 というわけで、運動量の変化率がどんなに大きくなろうとも、運動量が角度πを超えないために特別な変換を考えてやる流れになってきた。そこで思いついたのがリーマン球だ。普通リーマン球というと、複素平面を二次元球面上に投影するものらしいが、ここではもちろん三次元平面を、三次元球面上に投影することを考える。すでに八元数を使った三次元球面線形補間の計算方法がわかっているんだから、どうにかなるだろう。大きさが、2*tan(Θ/2)、方向が七次元外積を正規化したもの。この三次元ベクトルを単に足し合わせて逆変換すれば、絶対に運動量がπを超えない。・・・つづく
Read More..>>ブラックホールには毛が三本あるらしい
Posted on 7月 21, 2008 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
昨日の投稿で、2つのブラックホールが少しずつ移動してその後どうなってしまうのか気になったので、一晩計算機を回して確かめてみた。 2つのブラックホールは、長い時間をかけて結局合体した。合体は一瞬だった。その映像を残しておこう。同じ条件でもツインにならない場合もあったのでちょっと苦労した。 映像ダウンロード WMV形式 21秒 10MB 大きい方のブラックホールの動きがほとんど無いので、合体したというより、大きい方のブラックホールが、小さい方のブラックホールを吸収したという言い方のほうが正確かもしれない。ブラックホールがブラックホールを食らったという感じだ。 このように、自然に発生したツインブラックホールでは、質量差が出てきてしまう。質量差がないようなブラックホールの場合はどうなるのか？やってみよう。 ところで、ブラックホールには毛が三本あるらしい。質量、角運動量、電荷の三つだと言うことだ。きっと難しい方程式を解いて求めた答えなんだろうけど、どういうことだかさっぱりわからない。肝心の運動量はどうなってるのだろうか？ブラックホールは移動しないのかな？それなら、銀河のコアに巨大ブラックホールがあるということは、その質量に引きずられている銀河は、移動をしないということになる。でも、実際は移動している。ならば、ブラックホールの三本の毛というのは、普通の運動量は勘定に入れていないということなのだろうか？ それにしても、ブラックホールが移動するというのは、どう考えればいいんだろう？ブラックホール内に働きかける重力は、あるにしても、内部粒子は空間の穴に落ち込んだまま、出てくることがない。だから移動しようにも、普通にはできないような気がする。 そんなことを考えつつ、シュバルツシルト半径から少しだけ離して並べたブラックホールを計算実験することにしてみた。 初期条件の段階ですべての粒子を２箇所のブラックホール内に同じ個数だけ配置するのだ。すると予想通り、シミュレーションを続行しても、まったく粒子が出てこない。だが驚くことに、近接させて配置したブラックホールは全く近寄っていく気配がない。それどころか少しずつ離れていき、また、２つのブラックホールがある方向へ移動し始めた。 これから、このシミュレータが正しければの話だが、離れたブラックホールの合体は、ブラックホール外にある粒子からの干渉によって引き起こされる現象であることが推測できる。例えれば、ブラックホールの毛は外部からもたらされたものということになるから、つまりはカツラだったということになる。 ここで、このシミュレータ自体の信憑性に疑いを向けておくべきだろう。こんなものはただのSFである。しかし、面白い映像が撮れるので、とことんやってみたくなるのは仕方のない人のサガというものだろう。 ということで、次に、ぎりぎり接触する距離に、２つのブラックホールを配置してみた。 すると、質量差はないはずなのに、一方のブラックホールが、もう一方のブラックホールを食った。 映像ダウンロード WMV形式 9秒 4MB 何という予想外の結果だ。最初、2つのブラックホールがシンメトリーを保ちつつ合体するかとばっかり思っていたが、結果は違った。シーソーのバランスのように、合体の初期段階でのちょっとしたアンバランスが、大きく傾いていって、結局一方が一方を吸収するような感じになっている。 同じものを視点を回転させて撮ったもの。 映像ダウンロード WMV形式 5秒 3MB
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