虚数iは実在するのか？
Posted on 5月 30, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
物理や工学の分野で非常に便利に使われていて、数学的にも研究しつくされている複素数の虚数iだが、この数は実在するものなのだろうか？それとも単なる計算に便利な道具に過ぎないのだろうか？複素数をさらに発展させた四元数、八元数、十六元数といったものに数学としてふれていると、どうでもよくなってくるような疑問だ。しかし、物理的にその存在が宇宙の構造に組み込まれているのか否かを考えたときには、あらためて重要な問いになってくると思う。物理の専門家の方からすれば、量子力学に必要なので、実在するとみなしているだろう。でもここでさらに一歩進んで、例えば十六元数と素粒子との関係を考えたりすると、逆に単純な二元数の虚数部iは、実在とは離れているのではないかと感じる。むしろ、 十六元数のような高度な超複素数のほうがより実在に近い 複素数なんてその一部だろｗ。というように悟りきってしまえば問題ないと思う。こういった思考の転換からすれば、むしろ実数の実在性のほうに疑いの目がいってしまう。 十六元数はゼロ因子を持つ。つまりゼロが因数分解されて数量になるということ。これは無からの創世を記述するにはもってこいだ。そして、十六元数から純粋実数を作り出すのは簡単にできる。ところが、実数からその逆はどうあがいてもできない。 さてと、そう言えば今回は 四元数のヒルベルト空間について 考えるつもりだったんだ。ヒルベルト空間というのは、有限もしくは無限のベクトルが作る空間で、ベクトルの要素として直行する関数を用意してもいいもの。普通はフーリエ級数が使われる。 日常生活で言うと、要はテレビのチャンネル。１つの電波にテレビ、ラジオ、携帯・・・いろんな信号が入り混じっていても、そこから目的の信号を取り出すことができる。その操作の理論的基礎になっているのがヒルベルト空間。 オーディオで言えばスペクトラムアナライザー。あの上下に飛び跳ねるグラフのディスプレイは、ヒルベルト空間の座標変動を見ているわけ。ピアノの鍵盤から「ド」とか「レ」とかだけを残してやると、それが互いに直行するヒルベルト空間の基底ベクトルになる。こう考えるとヒルベルト空間というのはわけのわからない高次元の空想でもなんでもない。 物質の究極の構成要素である素粒子は、電波や音と同じ波動でできている。電波信号や音と違っているところは、素粒子は１つ２つと数えられるという点。それともう１つ、ここで今回主題にしたいこと、３次元の空間に現れているという点だ。 素粒子に個別性があるということは、波動関数がヒルベルト空間の単位超球上にあるということで説明がつく。さらりと言ってのけたが実は重要なことが含まれている。１つの素粒子を考える場合、何も無辺に広がるヒルベルト空間を考える必要はなく、単位超球上のものだけを考えればいいということ。言い換えれば、重要なのはヒルベルト空間の位置座標ではなく、内積からとる角度なんだということだ。 そしてもう１つ、３次元の空間に現れているという点だが、これは言い換えれば３次元の空間を作り出しているとも言える。実在である波動がどのように３次元空間を作り出すのだろうか？ いや、ちょっと待った。「作り出す」という言い方でさえ、いささか的を外している。これは３次元空間が存在することを前提とした言い方だ。こういう言い方はのっぺりとした白紙状態の空間を相手に想定させてしまうような過ちを犯してしまうかもしれない。 ３次元空間が実在するものだとは思ってほしくない。かと言って実在と関わっていないわけでもない。 要は素粒子と素粒子の関係性が３次元であり、その関係性のネットワークが３次元空間として認識されてしまうというわけだ。 あくまで関係性において３が出てくるということに注意してほしい。これは例えば宇宙に粒子が１つしかないという極端な状況を考えてみればハッキリする。そこには他の粒子との関係はないから、空間もまた想定することはできない。 前の文章で四元数は、三つの波動の合成になっていることを述べた。オイラーの宝石を３つに拡張してトリロジーにしたわけだ。 四元数の４という数にこだわっていると、時空の４次元に対応させてどうこうという流れになるかもしれないが、それはもう１００年以上前から考えられていて特に発展もないもののようだ。そもそも四元数は「特殊」相対論より前にあって、相対論構築のヒントになっている。数学的には相対論のミンコフスキー空間は複素数と四元数を組み合わせた双曲四元数に含まれるものだ。 さてと、ここまでこのブログで色んなことを書いてきて、ようやく次のことを納得してもらう準備が整った。 ３次元空間は四元数が織り成す３つの波動が元になってできている 具体的には、２つの規格化された四元数のベクトルの内積として出てくる角度の四元数が作っている３つの角度というのを想定している。 なんだかすげー複雑だぞ！ ま、とにかく新しいアイデアというスタートラインを一本引いてみた。ということ。これを煮るなり焼くなりしてみようか。 ということで、このブログの最初の書き込みに戻る。銀河シミュレータ。。。になってしまった重力多体シミュレータを作った本当の理由がこういうことだったりして。
Read More..>>共役を作って両側から挟んで掛け算する意味は？
Posted on 5月 20, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
何なんでしょう？よくわかりません。単に掛け合わせるだけじゃダメなんだろうか？でも確かにその結果は３次元の回転になっている。不思議だ。 しかし、これと似通った不思議な掛け算の仕方は、見たことがあるのでした。 量子力学の確率計算と同じじゃないか！ 量子力学では、状態を表す波動関数ψから求めたい物理量Aの確率を出すときに、四元数の三次元回転と同じような計算をしている。多分、何か関係があるのだろう。複素数のベクトルと、四元数は、交換法則がないが結合法則があるということで似ているし。 じゃあ、波動関数に四元数を使ってもかまわないんだ ググると、Quaternion Quantum Mechanics 略してQQMというカッコいいのが出てくる。中身はどうなっているのか知らないが興味深い。ということで考えてみる。 波動関数の波は基本的に以下の式になる。 exp(i ([運動量p][位置x] – [エネルギーE][時間t]) / h~) 量子力学によれば、光も電子も中性子も、粒子はすべて実体のない波で表される。その波はこの三次元の世界にはない。複数の場所に同時に現れ、分裂もするし、結合したり収縮したり、生成や消滅もする。世界の実体である波は、どういう空間にもないし、いかなる時間も持っていない。ただそれが我々がなじんでいる時空を作り出していることだけは確かだ。 「そんなバカな！」と叫びたくなるような理論だが、数々の現象をうまく説明しているのでそれが正しいことは否定できない。 テレビをつけるまでもなく、世界は波を受信する装置だったことにあきれ、オンラインゲームにログインするまでもなく、世界はすでにバーチャルリアリティだったことにビックリだ。 問題は、それがどういう仕組みになっているか探ることにある。この作業はまるで、ディスプレイに映るイメージだけから、パソコンの中身がどうなっているのか推測することに似ている。パソコンはメモリという一次元の配列にデータが入っていて、それが二次元に変換されてディスプレイに映し出されている。マウスカーソルを動かしても、それはカーソルを表す部位のメモリのデータが書き換わっているだけで、画面上のカーソルに磁石をあてても何も起きはしない。 では、実際の世界はどのような変換規則で３次元の空間と一方通行の時間が出来上がるのか？ 答えがありそうなにおいのする超弦理論の本「超弦理論とM理論」(ミチオ・カク著)を開いてみた。 10次元の理論を4次元にどうやって落とすか、誰も知らない (P.17) うー、うむ、うむむ。 まず、10次元という高次元が理解できない自分にあきれ、4次元時空に戻れなくなってるという宣言にビックリだな。 こうなってくると、空間の数学的な定義をもう一度みなおして、逆にそこから高次元に発展させた方がいい方法じゃないかと思う。永遠に伸びる直線が現実にはないという原理から、４次元超球など循環的な３次元空間を考えることの必然性があるならなおさらだ。 単位四元数 Q を位置と定め、宇宙の４次元からみた半径 R から、 RQ を位置とした空間からどうにかうまくならないものか。 次回、四元数のヒルベルト空間とその単位超球が示す３次元空間について考える。
Read More..>>人類の至宝と呼ばれる公式を拡張
Posted on 5月 16, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
四元数を知ってまず思ったのは、人類の至宝、オイラーの宝石と呼ばれる超有名で超有用な公式、オイラーの公式を拡張できるんじゃないかということだった。オイラーの公式はテイラー展開に虚数を当てはめることで導くことができるので、二乗してマイナス１になる数なら何でもあてはめることができる。だから四元数の i, j, k についても同じくオイラーの公式が成り立ってくれるんだろう。 exp(i θ) = cos(θ) + i sin(θ) exp(j θ) = cos(θ) + j sin(θ) exp(k θ) = cos(θ) + k sin(θ) これらは３次元空間における x, y, z 回転だと考えることができて、かけ合わせて作った四元数 cos(θ1)cos(θ2)cos(θ3) – sin(θ1)sin(θ2)sin(θ3) + i { sin(θ1)cos(θ2)cos(θ3) + cos(θ1)sin(θ2)sin(θ3) } + j { cos(θ1)sin(θ2)cos(θ3) – sin(θ1)cos(θ2)sin(θ3) } + k { sin(θ1)sin(θ2)cos(θ3) + cos(θ1)cos(θ2)sin(θ3) } は、３次元座標(x, [...]
Read More..>>降着円盤ジェットができるわけ
Posted on 5月 11, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
ここで公開している銀河シミュレータだが（そろそろ何か固有名詞をつけたほうがいいな、四元数銀河シミュレータ？）、シミュレーションを繰り返していると、回転円盤の中心から回転軸方向へ粒子が高速で飛び出し続けることがある。不思議な現象だなと思っていたのだが、実際の天体の観測でもこういうものが観測されているらしく、降着円盤ジェットというらしい。電磁気で説明する理論が通説のようだが、物理学の未解決問題でトップに上がっているように、よくわかっていないのが実情なのだろう。 それが、重力相互作用の計算だけで降着円盤ジェットが再現できるのはすごいことかもしれない。このシミュレーションでやっている一見無茶な計算が、何らかの意味があるというのは間違いないようである。これは、このシミュレータでやっている計算をきちっと数式にまとめないといけない・・・。 すでに修正ニュートン力学(MOND)というものがあるそうだから、これに手を加えることになるのだろうか。
Read More..>>永遠に続く直線は実在するか？
Posted on 5月 8, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
どこまでも続く直線があり、数とはその直線の上にならんだもの。小学校高学年になればこういうことを習い、定規を渡され線を引こう！という勉強をする。抽象的思考の訓練の第一歩だ。これはこれで非常に結構なことである。だが、成長するにつれ直線が抽象的概念に過ぎないということを忘れてしまいがちになっているかもしれない。いや俺はそうでないという方もいるかもしれない。わかりませんが、とにかく小学生の頃から「直線はあくまで抽象的概念だから」などと教えらるようなことはまずないだろう。 だから、中高生になって宇宙の果てがどうなっているか考えようとしたときにわけがわからなくなっていることが多いのではないかと思う。中にはその神秘を神秘のまま楽しむ人もいるだろうし、嫌って避けようとする人もいるかもしれない。 私はそういう漠然としたことはハッキリとさせないと気がすまないタイプ。幼児の頃食事のとき、お茶碗の中に入っているご飯粒の総数がわからないのが嫌だということでご飯を食べずに泣きべそをかいていたそうだ。神棚や仏壇の中にある扉の付いたものは絶対に開けて中を確かめる。そういうのが自分の中のポリシーとしてずっとあるんだと思う。 さて、宇宙の果てと直線の問題に戻ろう。宇宙の果てに行ったら、映画トゥルーマン・ショーのラストのように、壁にぶち当たってそこから先は進めなかった、なんてバカことはありえないと思う。だからというかそれだけではないが、直線という抽象概念は、宇宙には実在しないんだということを確信している。そういうことから、何事もハッキリさせないと気がすまない私としては、物理学ではそこのところをどう扱われているのか疑問に思うわけだ。 直線を扱わないで物理を扱うだって？相対論を否定するとか量子論を信じれないとか、もうそんなレベルじゃーない。物理に限らず科学のあらゆる分野で、３次元の空間座標、永遠に伸びると仮定した直線３つの組み合わせが、当たり前のように使われている。無限に続く直線がないとしても、それに比べ十分短い直線を使って何が悪いのかと。 では、さらにつっこんだ疑問をさらけだそう。 たとえどんなに短いにしても、連続する直線は現実に存在するのか？ いや、私は存在しないと思う。素でそう思う。ちなみに「点」もないと思う。「面」もありえない。 そういった存在が、空間や時間、あるいは想定されているなんらかの超空間に、実体を持って浮かんでいるということは、真剣に同意できない。 真に実在するものには、量を持つ情報の構造だけが与えられるべきだ。 うむ、言い切った。「なあんだ。ボームの隠れた変数理論の信者か」と思われるかもしれないが、そうとも言い切れない。SFでよくあるワープ航法が実現できないような宇宙はイヤだ！ただそれだけだったりする。 さて度々本論から外れるが、結局今日は何が言いたかったかと言うと、この銀河シミュレーターでやってみた角度からなる空間ってのも考えたとしても、これまでのことを１００％同意していただけば、あながち突飛なことでもないということだ。「１００％同意」というのが引っかかるかもしれないが気にしないで欲しい。これだけ直線の実在性を否定したということは、代案があるのだ。 四元数の角度という量が我々の体験する３次元空間かもしれない つまりそういうこと。
Read More..>>どうして３次元空間じゃない空間を考えなきゃならないか？
Posted on 5月 5, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
平らな地面をずっと進んでいくと、どうなるか知っているだろうか？ もちろん、知っていると思います。今どき小学生でも知ってますね。理想的にまっすぐ進めば、地球をぐるっと回って元の場所に戻ってきます。正確には地球は完全な球ではないから、元の位置からずれるかもしれませんね。でもそんな些細なことはどうでもよくって、重要なのは地面は実は平らではないという事実です。 同じことが宇宙についても言えます。宇宙の果てまで行くと、どうなるのだろうか？きっと答えは「元の場所に戻ってくる」です。地面と違って実際に確認するのは、とてもじゃないが不可能ですけど、多分そうじゃないかなと連想することはできます。そして、この問いに関しても重要なのは、本当に正確に元に戻ってくるのか？という些細なことではなく（実際に宇宙一周旅行する人にとっては死活問題になりますが）、実は空間は歪んでいるという事実です。 つまり、非常に巨視的な単位からすれば、空間が曲がっていないことはありえないと確信できるのであります。そこで実際はどうなっているか考えるのが大事な課題になるわけです。太陽系くらいのものを計算するときには全く必要ありませんが、特に銀河のような巨大なものになると、その影響が出てくるものではないかと考えられます。 といっても、何しろ宇宙の外から宇宙の大きさを見てきた人は誰もいないのですから、宇宙の大きさはわかりません。だから、「宇宙は銀河の大きさよりさらに広大なので、たとえ空間が曲がっていても銀河ほどでもほとんど影響はない」という予想も十分成立しうるものです。 この予想は銀河の観測結果が通常の３次元空間のニュートン力学にマッチしていれば信憑性があるというものでしょう。しかし、事実は違うようです！銀河の挙動は今人類が手にしている力学では予測のできない挙動をしています。それが銀河の回転曲線問題と、それを説明しようと天文学者が必死に観測しようとしているダークマターの問題です。 私が偶然に４次元球空間のシミュレーションをした結果で銀河のようなものができた時、どうしてこんなに興奮してブログまで作ったのか、わかってもらえるでしょうか？ ・・・いえ、実はまだわかってもらっては困ります。もっと大事な問題があるんです。私としてはそちらの方が気になることです。それはいずれまた説明しましょう。 とにかく、このシミュレータの空間のアイデアとしては、こういうことです。 地球は３次元の球です。しかし、地上の位置は経度、緯度の２次元で考えることができ、それで十分です。同じように、３次元宇宙も４次元から落とし込まれて成立している空間なのではないか？という宇宙空間の数学構造に対する予想です。そういうのが元々ありました。 リーマン幾何学という数学を使えば、そのような空間の計算もできるのでしょう。しかし、その計算は面倒そうで何より、どうプログラムに書いたらいいのか明確でない（私の能力では）というもののわけです。あえてやる気も起きません。 そいういう時にCGの関連から四元数を知ったわけです。四元数の偏角を使えば、もっと単純にシミュレーションできるのではないかというアイデアがわきました。思いつくともうプログラムにして確かめなきゃ気がすまないものですよね。 最初は１つの粒子が飛びまわっているだけのものを作り、それでほくそえんでいたわけですが、だんだん欲がわいてきて、衝突させるとどうなるかとか（実は粒子が衝突を繰り返すものを最初に作った）、多粒子にして重力を働かせるとどうなるかとプログラムを拡張していき、粒子数が64を超えたあたりで、「あれ、何か渦ができるぞ」ということを発見したわけです。そこからプログラムをデータ出力と表示ソフトにわけ、一気に粒子数を10000までアップ。「え？もしかしてこれ銀河？」となったわけです。
Read More..>>通常3D空間では渦はできなかった
Posted on 5月 4, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | 2 Comments
銀河系シミュレーターですが、通常の３次元空間で計算するようにプログラムを書き換えてみました。すると、予想外と言うか、期待通りというか、渦のようなものは何もできません。ただ粒子は重力の中心に向かって進み、また離れることを繰り返すのみです。ご覧ください。 映像：normal3d-n2048-1 MPEG1, 5.8MB 何も起きないことに驚きです。どうして、こういう結果になるのだろうか？ ４次元超球表面とすると渦ができるのに、３次元でできないのは、どういう数学的なからくりがあるのでしょうか？ 「つーか、何にも知らないでプログラム作ってたのか、あんたは！」 とか突っ込まれそうですが、いや、当らずとも遠からずですｗ どうもこうも、こういう高度な数学と言うのは苦手で能力がついていきません。ハッキリ言ってプログラムのコードの方がわかりやすいと思うこともしばしば。だから、そういう難しい数学の本を読んで理解しようとすると、プログラムを書いて走らせながら、トライアンドエラーを繰り返して確認しないとわかった気がしないことも多いです。 ところで、こういう高次元の数を扱う学問として、リー代数とかクリフォード代数というものがあるらしい。その分類記法からして、４次元超球表面はどうなるのか？色々情報は集めたのに、 それすらわからない どこかに解りやすい一覧表のようなものはないものでしょうか？いささか、 「分類できたからって何なの？」 と思わないでもないですが。
Read More..>>なぜリングが出来るのか？
Posted on 5月 2, 2008 - Filed Under 銀河シミュレーター | Leave a Comment
初期スピードを速めに設定してシミュレーションしてみました。リングの中心に直線状の細い渦ができました。そういう重力スポットができるんでしょうか？ご覧ください。 映像：4dspheren2048-3 MPEG1, 5.8MB 調べてみると、実際に観測されているリング銀河はいくつかあるようです。ホーグの銀河はちょうど正面から見えて綺麗です。 Hoag’s Object Ring Galaxy AM 0644-741 このシミュレータでは星同士の衝突や恒星の形成まで計算していません。もしそのような計算をすれば明るく輝く銀河のコアなど再現できるかもしれませんね。でも、銀河の中身はとってもスカスカなので、星の衝突は計算しなくてもシミュレーション的には問題ないと思われます。ユニバースケールを見るとその感じがよくわかります。 ユニバースケール このようなリングは銀河の衝突によってできたと言う説があるそうですが、このシミュレーションはそういう説を覆す事になるんでしょうか？まさかねぇｗそういえば、シミュレーション初期段階で粒子が狭い範囲に集合して爆発のような現象が見られますが、これはクエーサーにあたるのかな？（私は知りません） 他にこのシミュレータで起きる興味深い現象として、 銀河の回転曲線問題。よくわからないが、銀河の中心と周辺部で回転速度が一致するように観察されていることが、今の理論では説明できないらしい。しかし、このシミュレータは回転速度が一致している。ダークマターの問題が解決？ 不規則な周期で銀河の星たちが中心部に落ち込み、再び展開するということを繰り返す。その結果コアが分裂することもよくある。銀河の腕はこのときにできる。 うまい具合に狭い範囲に星たちが落ち込んだ場合、銀河の回転が反転して展開することがある。 シミュレーションを続けると、星たちが拡散して泳ぐようにただよい、明確なコアはもうできなくなる(これを確認するのに何日もPC回したｗ)。 問題点は、 そもそも何かの計算誤差か計算違いでこのようなことになるのかわかんないｗ 原理的に中心部へ粒子が集まる変な計算になっている。本当は双曲四元数を使った曲率がマイナスの空間を考えるべきかもしれない。 もうちょっと、色んなバリエーションでシミュレーションすべきだなこりゃ。そもそも通常3D空間でのシミュレーションをやらずに比較などできないし(爆)。しかし、CGの四元数を勉強するだけのつもりが、こんなことにはまるとは思いもよらなかったｗ
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