（時間⇔距離）の時間とフレームとしての時間
Posted on 6月 27, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
四次元の回転について、その線形球面補間も含め四元数の演算で閉じていることを計算した。だが、意味付けとして7次元を持ってきて、八元数での計算にも乗っかるという事実は依然として重要な別解だと思う。思いつつも、BHシミュレーターをパフォーマンスのため四元数オンリーで簡略化しているところ。 プログラムをいじりながら、このシミュレーターで行っているアルゴリズムに対する疑念が強く湧いてきたので、色々とシミュレーション手法を調べてみた。渦やブラックホールなどの結果は、アルゴリズムの欠陥から出てきたものに違いない？のである。特にシンプレクティック積分法について関心を持ち考えてみた。自分が行っているのは、1次シンプレクティック積分法を採用しているということがわかった。ただ、位置の計算がどうにも悩ましい。 「銀河シミュレーター」では、微分を使うのか積分を使うのか、実際に計算させて、「もっともらしい方」を適当に切り替えて使用しているだけだ。数学的には何の証明もない。具体的には、運動量pへの作用として力積を相互作用させるという概念から、線積分を主に使用している。線積分はスカラーで出てくるから、それに方向をつけてベクトル化し、ペアとして注目している粒子の運動量へ逆方向に掛算している。この部分をポテンシャルエネルギーの偏微分だけで行っても、それほど結果は変わらない。これ以上の検証は粒子の総エネルギーの変動を検証するプログラムを作るべきだろう。 それからパフォーマンスは落ちるだろうけれども、高次シンプレクティック積分法についてもやってみたいと思った。歪んだ空間ばかり相手にしていないで、太陽系の実データで実用的なシミュレーションでも作ろうか。それを Swiss Ephemeris などのデータと照合してみるのも有意義なことだろう。Swiss Ephemeris は占星術で使用されることが目的のものだが、NASAのスパコンが算出したデータも使用しているようで、いい加減なものではないようだ。公開されているプログラムを動かすと、惑星の正確な位置をあらかじめ計算してあるデータベースから出してくれるので検証に使える。 それにしても、シンプレクティック積分法の Exp() の数学的構造が気になる。四元数の Exp() の意味を考えているときにこんな計算方法を見れば、これを単位四元数で置き換えたくなるのは当然の心理的流れだろう。単位四元数を使うことで逆に微分方程式の解が簡単にまとまる気がするがどうなんだろう。さらには、2つの単位四元数である位置q と運動量p によるハミルトニアンを、八元数の構造の中に埋め込めるのではないかと妄想してみる。そこから、高次元シンプレクティック積分法の構造は、正規化された八元数のヒルベルト空間になったりして。つまり、空間の構造は、八元数を使用した高次元シンプレクティック積分法の構造のようなものになるのではないか。 シミュレーションをより完全に行う手法が宇宙の真実をえぐり出しているのかもしれない。 この宇宙が精密かつ大規模なスパコンの内部データではないかというのは、SFでは使い古されたネタだが、実際その可能性は否定できない。もしそうであれば、実に大規模なスパコンが実宇宙の演算に使用されているものだ。感心する。だが、無限のメモリがあるとは言えないと様々な面から推測している。それどころか逆に、この「宇宙スパコン」のメモリの有限性が物理法則なのだと考えている。 例えば、量子力学における不確定性原理は、情報技術の非可逆データ圧縮で使用されるアルゴリズムにも現われる。これから類推されることは、宇宙内の粒子のパラメータは、宇宙外データベースにおいて圧縮されて保存されているのではないかということだ。何だかかえってデータが増えてしまう気もするが、この種のデータ圧縮展開演算は「宇宙スパコン」にとって得意だとみえる。それに、圧縮データの展開において不可避なあいまい性が、原子を安定させて形成することになるので、必要性があるのだ。この種のあいまい性がなくなれば、原子はあっという間に潰れてしまって存在できないことになるだろう。 不確定性原理以上に重要なのは、質量や電荷そのものについてだ。例えば離散フーリエ変換における成分の数Nが有限であることが、質量や電荷になる。場の量子論の繰り込みというのは、多分こういうことなんだろうと勝手に予想している。実宇宙において離散フーリエ変換が使用されているのか、Nがどれほどの量なのかは不明だが。 そして、時間についてもその非連続性こそが重要なファクターとなる。シミュレーションにおける時間の不可避な分断が、実宇宙にも現われるのである。そして、それは宇宙の不完全さを露呈するものではなく、時間の分断によって現われる効果が必要不可欠な物理法則として利用されるのだ。時間の分断による効果が四元数として現われることで、電磁力などになる可能性も出てくる。 あらためて時間について定義をしてみよう。無限に小さい連続する時間が実在するとすれば、「宇宙スパコン」においてデータ量が無限になってしまうが、それはありえないことだ、ではない、必要なことだ。 動画の再生のように1コマずつ進行していく一方向的な自由度を持つ時間の流れを、「フレーム時間」と呼ぶことにしよう。すると、fps：フレームパーセカンドが実宇宙に定義されることになる。 時間の持つ側面はそれだけではない。 一般相対性理論が言うような重力としての時間のゆがみが別に定義される。それは、方向を持っているベクトルで、具体的には三次元球面に直行する二次元球面、すでに書いた距離の計算に基づく量と強く関連しているハズだ。 時間については一義的に考えていても、実際の応用には到底適用できない。だから、とりあえずは、デジタルな「フレーム時間」と、アナログな「歪み時間」を考える。これらの時間を統合するのは四元数もしくは八元数のN次元構造の超角度となる。 具体的には、佐藤の超関数のデルタ関数表現を四元数拡張したものを最小時間として、位置の四元数による単位ヒルベルト構造体を積分したものが、重力や電磁力の最小時間あたりの運動量交換になるのではないかと予想してみている。
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Posted on 6月 20, 2009 - Filed Under ブラックホール | Leave a Comment
改めて、四元数の掛け算を見てみよう。 A = a0 + i * a1 + j * a2 + k * a3 B = b0 + i * b1 + j * b2 + k * b3 の２つの四元数があるとする。簡単のために以下のように表記する。 A = { a0 , a1 , a2 , a3 } B = { b0 , b1 , b2 , b3 } B [...]
Read More..>>三次元球面と直交する二次元球面
Posted on 6月 16, 2009 - Filed Under ブラックホール | 1 Comment
本当に三次元球面に運動量が曲げられてしまうような時間要素が入り込んでいるのだろうか？それともローレンツ変換の裏返しで、それらしく計算できちゃったー万歳的なものなのか。徹底して確かめる必要がある。 特に去年7月の投稿の以下のものは、もっと追求すべきことだと思う。 念願の四次元の超球面線形補間がやっとできた 八元数と七次元の外積と四次元の回転と三次元の回転軸？ 球面線形補間だと渦はできなかった 単位四元数座標系の位置は明確に定義できる。任意の単位四元数だ。移動や速さの定義は少し難しい。この座標系において移動とは回転を意味する。 速度の単位四元数を適当に決め、それを単純に位置の四元数に掛け算すれば、粒子は一定の角度で移動してくれる。ある角度だけ回転するという操作であれば簡単なのだ。単純に四元数の掛け算をすればよい。 ところが、ある「割合」だけ回転させようとすると、とたんに難しくなる。例えばある角度の半分の回転をしたい時、単位四元数を２で割ってかけるという事はできない。２つの単位四元数から角度と「回転軸」を取り出して適切に球面線形補間しなければならない。 「回転軸」は２つの四元数と直交していなければならない。このような「回転軸」は７次元の他の軸に見出されることを以前の記事で書いた。この計算手順は計算機で行う分にはいいが、数学として計算しようとすると要素の数が多くなり手間のかかるものになる。でもがんばってやってみよう。 単位四元数座標系の原点を、 Q0 = 1 ∈Quaternion にとり、ここから光速c（ラジアン 0 < c << π）の光が到達する二次元球面を考える。 Q = w + i * x + j * y + k * z (w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1) の条件を出すのだ。時間をどうとるかがとても悩ましいところだが、とりあえずごく普通に t で。すると、t 秒後には角度 c * t の位置に光があることになる。四元数の偏角で式を作れば、 acos(w) = c * t w = [...]
Read More..>>混合シミュレーションの結果
Posted on 6月 11, 2009 - Filed Under ブラックホール | 1 Comment
まず用語定義 トリロジー投影(Trilogeographic Projection) Trilogyは「三つ組」という意味で映画の三部作とか宝飾品の言葉にも使われるが、四元数の指数関数(exponential)の逆関数である対数関数(natural logarithm)が「三つ組」になっているので、三つの(tri)対数関数(log)をかけて使っている言葉。トリロジー変換、トリロジーグラフ、トリロジー写像などと使う。この変換を使うと3次元球面S3を3次元空間に投影して視覚化できる。 トリロジー銀河シミュレーター(Trilogy Galaxy Simulator) トリロジー空間で直接的に重力多体シミュレーションをテストしたところ、銀河のような渦巻き構造が現れたというもの。銀河の腕、リング銀河、降着円盤ジェット、リング銀河崩壊によるコア分裂、原点を中心としたゆるやかな振動、が見られる。最後には必ず発散してシミュレーションが終わる。 今まで統一した名前で呼ばなかった次のシミュレーションについて名前が欲しいところ。三次元球面シミュレーターでもいいがインパクトに欠けるので、 ブラックホールシミュレーター(Black Hole Simulator) 八元数による四次元の回転(七次元外積)(四元数の割り算でも代用可)で重力多体シミュレーションをしたところブラックホールが現れたというもの。ブラックホールができなければ特に普通に重力相互作用をしているように見える。いったんブラックホールが現れると、周囲の粒子を勢いよく吸い込んでいく。ブラックホールが現れる前兆現象として、運動量が捻じ曲げられ粒子が互いに反発するような場が形成される。その壁を乗り越えた粒子がブラックホールを成長させる。ブラックホール成長は完全に空間対象的で、降着円盤はできない。粒子は螺旋運動をしてブラックホールに落ち込むこともある。初期条件によっては複数のブラックホールが形成されるが、ブラックホールは移動しにくく、運動量が消失していることがわかる。２つのブラックホールが合体するとき、「大」が「小」を解体させて吸い込む。その時「大」は移動しない。ブラックホールが出来るとシミュレーションは収束して終了する。 時間反転爆発(Time-Reversing Explosion) ブラックホールシミュレーションにおいて最重要だと思われる奇妙な現象。三次元球面に時間の要素が入っていることを示唆する。集合しつつある粒子が事象の地平面を急激に空間に生じさせると、それが球面となって高速で広がる。球面となって出現する。（なぜなら重力が最も強いのは中心部ではないから）。集合中の粒子が時間反転の境界に触れると、それら粒子の運動量は方向が逆転して再び飛散し爆発のようになる。 さて、この両者の単純混合シミュレーションだが、混合比率によって多様な結果が得られた。いくつか面白いと思った現象をあげると・・・ ・ブラックホールが出来る前、渦が出来ないと、棒状の粒子の集合が見られる。なぜ棒になる？ｗ ・渦のコアにブラックホールが安定するが、分裂や合体をすることもある。 ・渦は出来ても、腕は出来にくい。 ・渦の中心が安定しないことが多い。条件によってはブラックホールごと銀河がある方向へ飛び去っていくｗ 混合比率の他、重力定数G、限界光速度C、初期条件を決めないといけない。変な値にすると、全然違う結果になる。もう、色々検証するのが超面倒ｗ。下手な鉄砲数うちゃ当たる的状況。まあ、これ以上はちゃんと理論的構成から定数を決めないと、何でもありになってしまう。 時間反転爆発と渦ブラックホールのデータ [50MB] 時間反転爆発が3回起きる。若干計算に入れているトリロジー相互作用で渦になったブラックホールが見られる。シミュレーション最後では安定した事象の地平面によって粒子が跳ね返されている。このファイルの元データはもっと長いがこの状態で安定するのでカットしてある。 ホワイトホールとブラックホールの混合のような結果か。なんとなく、超新星爆発に似てる感じもする。
Read More..>>全てはプラズマで説明が・・・！？
Posted on 6月 2, 2009 - Filed Under 宇宙について | 2 Comments
似非宇宙論をあーだこーだ考えて頭が大混乱しつつ、散乱したプログラムソースを整理整頓、無事シミュレーションを再開したｗ。Core2 Quad 3GHzのマシンも組んだまま放置してたし（もったいねーｗ）、また色々やってみよう。4コアCPUは起動とかは全然ボトムネックになってないのか、違いがわからないくらいだが、シミュレーション演算は流石に速くて静か。いい感じ。水冷化も必要ないなぁ（ちょっとつまらない）。どうせなら奮発してcore i7にすれば良かったかな。（いや、むしろLinuxつっこんでみたPS3を使って・・・） このブログで、トリロジー銀河シミュレーターともう一つ、三次元球面S3を八元数を使って計算したブラックホールシミュレーターがあったけれども、こっちの方はソースがゴチャゴチャなのでとても公開できる状態じゃない。何とか公開まで持っていこうｗ。どうせなら、プログラムを一つにまとめてモード指定で切り替えできるようにしてみようと思う。 ブラックホールが三つできるデータをアップ [gravity20090526-014217.3dp] サンプルデータ 100MB トリプルブラックホール そういえば、 2つの引力を混合するシミュレーション は本格的にやってない。どうなるんだろう？そして、重力を二種類の引力の混合にするとどういう物理的解釈があるのだろうか？もしかしたら、トリロジーの渦は電磁気と関連するのかもしれない。でも電磁気が銀河レベルのスケールに影響するなんてありえないよなぁ。 そんなことを思って、色々ネットで宇宙論を調べたら、クインテセンスという面白い単語を発見。クインテセンスに該当するのがトリロジー銀河なのか？クインテセンスの語源は第五元素ということだが、何だかオカルト的だ。そういう概念を持ち出す必要があるほど、観測結果が理論と合わないのだろか。RPGゲームでよくある、基本の火、水、土、風の呪文があってそれを超える威力のある呪文とか、そういう系？ゲーム脳の若い物理学者が宇宙論を語りだすとかヤバイ。宇宙の法則が乱れる！（お前が言うな！） ということで、オカルトに対抗するといえば、プラズマでしょ。そう思って、プラズマ宇宙論を検索したら、あったｗ。ノーベル賞をもらった研究者もいて結構本格的だし。銀河の回転問題をプラズマ宇宙論で説明できるとのこと。これはすごい。こんな宇宙論全然頭になかった。 ということで、電磁力が銀河スケールに影響することは、ありえるということが判明ｗ。でも流石にマイクロ波背景放射（3k背景輻射）をプラズマで説明するのは無理がありそうだという印象。 真実はビッグバン宇宙論とプラズマ宇宙論をいいとこ取りしてまとめたところにありそうだ。うまくすればこの先に、電磁気と重力の相関関係が解明できそうな匂いさえ、ただよう。(寝言は寝てry)
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