ローレンツ変換は6次元なのか？
Posted on 1月 21, 2010 - Filed Under 宇宙について | 4 Comments
重力多体シミュレーションに特殊相対論を導入しようとしてよくわからなくなった。 光速度限定を導入するのは簡単だった。単に速度を公式に従って調節すればいい。以前の投稿でも詳しく書いた通りだ。 しかし、実際は粒子の速度が光速に近づくにつれて、その粒子にとって観測者と同程度遅い粒子の集合は、ローレンツ収縮によって平べったくなるはずだ。宇宙空間全体が潰れていくような大胆なイメージが必要になる。となると、光速に近い粒子は、速度の遅い粒子をより相対速度の直角面に近いところに認識することになろう。だから、光速に近い粒子は、通常の計算より重力によって曲がりやすくなるのだと予想できる。 wikiのGIFアニメ参照 http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation 実は、すでにローレンツ収縮を高速に計算するアルゴリズムを考案して、シミュレーションに導入してみている。重力を受ける方向を正規化して円上にならべ、それを相対速度の方向へ楕円形につぶすという計算だ。重力の大きさも変えるとなると面倒なので、とりあえず端折って方向だけ計算してみたわけだ。その結果、速く動く粒子がクネクネと進行方向を変えるさまを見ることができた。 特殊相対性理論の説明でよくあるのは、たいてい一直線上に単純化されていて、しかも時間と空間を同じくしていた2体の問題だ。これについては、式も単純だしプログラミングに持って行くのも楽勝だ。この辺を検索すると相対論への懐疑論がいっぱい引っかかってくる。知りたいのはそんなことではないんだが・・・ 最初から離れた時空にある粒子の計算は、どうなるのか？さらに、多体でお互いにバラバラの3次元の速度を持っていた場合、どう距離と方向をとればいいのか？そういう解説と具体的数式を求めているのだ。しかし、情報がなかなか見つからない。あるいは情報があってもほとんど理解できないw そこで、自分でもじっくり本質を見極めないといけなくなったわけ。さすがに公式まる写しでアルゴリズムを考えてもダメみたいだｗ その結果、結局のところ、「4次元時空だ！4次元ポケットすごい！」と言われていたアインシュタインの理論で使用されているローレンツ変換は、4次元での虚数角度の回転だと言い換えることができるらしい。つまりは、3自由度であって、プログラムでの変数も3つ用意すれば十分らしい。 なんだ、それじゃ3次元時空じゃん？ ええぇ？本当にそれでいいのか？なら最初からそう言ってくれよ。 しかし、多体問題を追及していると、速度によって粒子に見えている宇宙の形状は異なるものになる。ならば、速度も一緒に考えるべきで、そのほうがプログラムがうまく書けて、高速なアルゴリズムになるのではないか？ そう思ってさらに調べていくと、ローレンツ群というのは、6自由度といように分類されているらしい。 え？結局6次元ということ？ ええぇ？本当にそれでいいのか？なら最初からそう言ってくれよ。（2回目） ということで、 相対性理論は実は6次元だった。 あ、なんだそういうことだったのか、と納得してしまった次第である。ならば、位置と速度を表す2つの四元数が相対論でいいのだろうか。しかし、虚数角の回転とは何だろうか？四元数に別の虚数を入れるということになるのだろうか？ それならば、2つの単位四元数を組み合わせて、八元数を作る感じがしないでもない。その八元数を正規化して掛け算してみると、どう粒子が変化するのか。なんだか、それだけで重力相互作用っぽい挙動をするではないか。何がどうなっているのか、もっと追究してみないといけないな。 そういえば、例のサーファー物理学者の万物理論（自称）とはどう関係があるんだろうか。 http://en.wikipedia.org/wiki/An_Exceptionally_Simple_Theory_of_Everything 例外リー群E8とは？ http://en.wikipedia.org/wiki/E8_%28mathematics%29 超弦理論のE8xE8とは？
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