角度だけを真とする数理
Posted on 11月 26, 2009
角度は、単位円上の2つの半径によって定義される。この2つの半径は長さ、もしくはノルムが１のベクトルである。１つの角度は、２つのベクトルによって定義できるし、逆に１つの角度から、2つの半径を定義することもできる。今、角度をベクトルに表現しなおすとしよう。すると、ベクトルの基準としてある直交座標系をとらなければならない。
例えば、90°という角度を表すのに(0, 1), (1, 0)という半径を選んでもいいし、(-1,0), (0, -1)という組み合わせを選んでもいい。組み合わせの数は無限にあるが、角度という計量を主体とするなら、その２つの半径の組み合わせはすべて同値であるとみなせるだろう。
この変換においては、半径は基準を変えると数値も変化する、ただの相対的な表現である。言い換えると、角度を実在の計量とした場合、半径とそれを構成する実数の組み合わせは、仮想的存在とみなされる。
単位円上にただ一つの半径が、ベクトルで表現されているとする。この単独のベクトルはいかなる角度も表さない。ゆえに、この一つベクトルは、仮想的存在でとどまっており、なんら実在と関わりを持っていない。
半径を表すベクトルは、N次元であっていいし、四元数のベクトルであっても、直交関数でもいい。ただ、ノルムは１に限定され、角度が定義されなければならない。すなわち、限定されたヒルベルト空間であり、量子力学での波動関数でもある。
いきなり、数学の話から物理にぶっ飛びました。角度を主体とした数理イメージから、大胆にも量子力学に入ろうとしている。角度だけが物理現象の一切を表す権利を持つ計量であるという原理にあくまでも忠実でいたいわけだ。
このこだわりからして、波動関数を仮想的半径のことなんだとみなしてみよう。波動関数の全空間積分、つまりノルムは、全確率だから必ず１になる。１にしなければならない。つまり、波動関数は、超球の半径だとみなすことができるのである。これが、位置や運動量、エネルギー、質量などを定義することになるのだから、かなり変態的な超球である。
このように考え、波動関数は単独では意味を成さない仮想的存在ではないかとイメージしてみる。実際の物理現象、素粒子は２つの波動関数の角度が表していると推理できる。シュレーディンガー方程式や行列力学などの形式は、この角度を取り出す操作だと考えることはできないだろうか。そうすると、経路積分がある意味最もわかりやすい角度の抽出方法だとも思える。
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